∞ - ∞ neden sıfıra eşit değildir? ya da ∞ / ∞ neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum.

Öncelikle sonsuz içeren bazı işlemlerin sonuçlarına göz atalım.

Matematikte sonsuz kavramı hakkındaki en yaygın hata, sonsuzun sayılamayacak kadar büyük bir sayı zannedilmesidir. Fakat sonsuz, sonu belli olmayan işlemleri veya sayıları temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonuç basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu 3.33'e yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz (∞) içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir.

İşlemlerde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Örneğin aşağıdaki işlemlerin sonuçları sonsuzdur.

1+1+1+1+1+.......... = ∞
9x9x9x9x9x.......... = ∞

İşlemlerin sonuçlarını bilmiyoruz. Sadece toplama ve çarpma işlemlerinin sonsuza kadar gittiğini biliyoruz. Bu nedenle sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz. Ayrıca işlemlerin sonucu olan iki sonsuzun birbirine eşit olup olmadığını da bilmiyoruz. Eşit olsaydı 1+1+1+... = 9x9x9x... olurdu. Yani eğer bir işlemde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Bu nedenle örneğin sonsuz - sonsuz işleminin sonucu sıfır değildir. Benzer olarak sonsuz / sonsuz işleminin sonucu da 1 değildir.

Pek çok sonsuz işleminde sonsuzu sonu olmayan bir sayı olarak düşünürsek sonuca kolaylıkla ulaşabiliriz. Örneğin sonsuz + 1 işleminin sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan bir sayıya 1 eklersek yine sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz. Benzer olarak sonsuz + sonsuz işleminin de sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan iki sayıyı toplarsak sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz.

Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize ve ispatlarımıza geçebiliriz.

Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz - sonsuz işlemindeki sonsuzlar birbirlerine eşit mi değil mi sorularının cevaplarını bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip ve birbirine eşit büyük bir sayı olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımımıza göre ∞ - ∞ sonucu sıfır olacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek,

∞ - ∞ = 0
∞ - ∞ + 1 = 0 + 1
∞ + 1 - ∞  =  1

Daha önce bahsettiğim gibi sonu belli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde,

(∞  + 1) - ∞ =  1  
∞ - ∞ = 1 olacaktır!

sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim,

Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz / sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu belirteyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır.

∞ / ∞ = 1 ( ∞ = ∞ + ∞  olduğuna göre)
(∞ + ∞) / ∞  = 1 (Matematikte (a + a) / a ifadesini (a / a) + (a / a) şeklinde yazabildiğimize göre)
(∞ / ∞) + (∞ / ∞) = 1 (∞ / ∞ = 1 varsayımında bulunduğumuza göre)
1 + 1 = 1
2 = 1
veya
∞ / ∞ = 1 (∞ + ∞  + ∞ = ∞ olduğuna göre)
∞ + ∞ + ∞ / ∞ = 1
∞/∞ + ∞/∞ +  ∞/∞ = 1 
1 + 1 + 1 = 1 
3 = 1 olacaktır.

Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz / sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz.

Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin rakamlar yerine yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder.

Örneğin y = 1 / x fonksiyonuna göz atalım (x>0). X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuz y = 1 / ∞ şeklini alacaktır. Bu nedenle fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. Çünkü x yerine 1,2,3,4,5..... sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur.

y = 1 / x fonksiyonu için (X>0)
x=1 ise y=1
x=2 ise y=0.50
x=3 ise y=0.33
x=4 ise y=0.25
x=5 ise y=0.20
.
x=100000 ise y=0.00001

X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri de sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun x=∞ için limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. (X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır.)

Belkide en kafa karıştıran sonsuz işlemlerinden bir tanesi 1^∞'un Belirsiz olmasıdır. Bu işlem 1x1x1x1x1x..... çarpımlarının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. İlk bakışta "Çarpma işlemi ister 100 tane, ister 10 milyon tane, isterse sonsuz tane olsun, 1'i 1 ile çarparsak sonuç daima 1'dir. Bu nedenle 1^∞ işleminin sonucu 1'dir" diye düşünebiliriz. Bu mantık hatalı değildir. Ancak 1^∞ için öyle bir durum vardır ki sonucun belirsiz olmasına neden olmuştur. Basit limit işlemleri ile bu durumu görelim.

İki fonksiyonumuz olsun f(x) ve g(x). Bu fonksiyonlarımız da aşağıdaki gibi olsun.

f(x) = 1 +  1 / x
g(x) = x

Bu fonksiyonlar için x=∞ ise,

limx→∞f(x)
limx→∞ ( 1  + 1  / ∞ ) 
limx→∞ ( 1  + 0 )
limx→∞ ( 1 ) = 1 
ve
limx→∞g(x)
limx→∞ x = ∞

sonuçlarını elde ederiz. Yani 1^∞'a ulaşmak için f(x)^g(x) işlemini (x=∞ için) kullanabiliriz. Çünkü yukarıdaki görüldüğü gibi x=∞ için f(x)=1 ve g(x)=∞ 'dur.

Artık 1^∞ sonucuna elde ettiğimiz formül ile (f(x)^g(x)) ulaşabiliriz.

limx→∞f(x)g(x)
limx→∞(1+1/x)x

Yukarıda grafikle anlattığım gibi x=∞ için 1/x sonucu sıfırdır. Yani elimizde lim_x→∞(1)^x limiti kalır ki sonuç 1'dir. Fakat

limx→∞(1+1/x)x

Yukarıdaki limit işlemi aynı zamanda matematikte özel bir sayısının ifadesidir. Bu sayı Euler Sayısı'dır (e). Euler sayısı yaklaşık olarak 2.718281 değerine sahiptir. Şimdi limit işlemine yeniden bakarsak

limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281

değerine ulaşırız. Gördüğünüz gibi 1^∞ için 2 farklı sonuca ulaştık. İşte bu nedenle 1^∞ belirsizdir.

limx→∞(1+1/x)x = 1
limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281