Her ne kadar tarih boyunca pek çok matematik kuralı değişmiş olsa da sayıların sıfıra bölünememesi kuralı günümüze kadar değişmeden kalmıştır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Peki neden bir sayıyı sıfıra bölemiyoruz ve neden bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır? Bu makalemde matematiksel olarak bu soruya cevaplar arayacağız.

Öncelikle bir sayının sıfıra bölümü ilk bakışta sonsuz gibi düşünülebilir. Çünkü bölen sayı küçüldükçe sonuç büyür. Örneğin 10 sayısını her adımda daha küçük sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.

10 / Bölen Sayı = Sonuç
10 / 1 = 10
10 / 0.1 = 100
10 / 0.01 = 1000
10 / 0.001 = 10000
10 / 0.0001 = 100000
10 / 0.00001 = 1000000
10 / 0.000001 = 10000000
.
.
.
Bağıntı = 10/x = y

Gördüğünüz gibi bölen sayı ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olmaktadır. Yani bölen sayı sıfıra yaklaştıkça sonuç da sonsuza yaklaşmaktadır. O halde bir sayının sıfıra bölümü sonsuz olmalıdır.

Bu durumun neden doğru olmadığını anlamak için öncelikle bölme işleminin ne ifade ettiğini bilmemiz gerekir. Örneğin 10 sayısını 2 sayısına böldüğümüzde sonuç 5 çıkar. Bu işlem bize 10'un içinde kaç tane 2 olduğunu gösterir. Ayrıca bölme işlemi matematiksel olarak çarpma işleminin tersidir. Bölme ve çarpma işlemlerinin sonucunu birbirine eşit olacak şekilde düzenlersek çarpımsal ters kavramı ortaya çıkar.

10 / 5 = 2 = 10 x 1/5
10 / 2 = 5 = 10 x 1/2
10/a = 10 x 1/a

İşlemlerdeki 1/a sayısına çarpımsal ters denir. ilk işlemde 5'in çarpımsal tersi 1/5, ikinci işlemde 2'nin çarpımsal tersi 1/2'dir. Yani bir sayının çarpımsal tersi 1'in bu sayıya bölümüdür (a'nın çarpımsal tersi 1/a 'dır). Peki çarpımsal ters ne işimize yarayacak?

Bir sayının çarpımsal tersi ile çarpımı daima 1 sonucunu verir.

Sayı x Çarpımsal Ters = 1
5 x 1/5 =1
2 x 1/2 = 1
4000 x 1/4000 = 1
a x 1/a = 1

Bu durumda sıfırın çarpımsal tersi 1/0 olmalı ve çarpımsal tersi ile çarpımı da 1'i vermelidir (0 x 1/0 = 1). İşte sorun burada ortaya çıkar. Çünkü bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Bu nedenle sıfırın çarpımsal tersi yoktur. Yani 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra bölüm işlemlerini çarpım olarak yazarsak

5/0 = 5 x 1/0
10/0 = 10 x 1/0
-3/0 = -3 x 1/0

1/0 tanımsız olduğu için bütün sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

İlk kısımda bahsettiğim ve mantıklı gibi görünen 1/0 = Sonsuz düşüncesi hala mantıklı gibi gelebilir. Fakat bu durum negatif sayılar için de aynı sonucu vermektedir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde sonuç eksi sonsuza yaklaşır.

10 / Negatif Bölen Sayı = Sonuç
10 / -1 = -10
10 / -0.1 = -100
10 / -0.01 = -1000
10 / -0.001 = -10000
10 / -0.0001 = -100000
10 /- 0.00001 = -1000000
10 /- 0.000001 = -10000000
.
.
.
Bağıntı = 10/-x = -y

Bu nedenle 1/0 sonucu sonsuz ise 1/-0 sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğundan 1/0 için hem artı sonsuz hem de eksi sonsuz sonuçları ortaya çıkar. Artı sonsuz ile eksi sonsuz birbirine eşit olmadığından bu düşüncenin yanlış olduğu görülür.

Bütün bu işlemler kafanızı karıştırdıysa basit bir mantık üzerinden gidelim. Önceki kısımlarda bahsettiğim gibi örneğin 10/5 işlemi 10'un içinde kaç tane 5 olduğunu gösterir. Buna göre 10/0 işlemi 10'nun içinde kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir. 10'un içinde kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz... bilmiyoruz çünkü sonuç matematiksel olarak tanımlanmamıştır. Bu nedenle bir sayıyı sıfıra bölersek sonuç tanımsızdır.