Pisagor teoremi geometride en fazla kullanılan teoremlerden biridir. Bu teorem her ne kadar antik Yunan filozoflarından Pisagor ile özdeşleştirilse de hala bu teoremin ilk olarak kim tarafından ispatlandığı tartışma konusudur. Pisagor'dan çok önceki tarihlerde Babil, Hint, Çin, Mısır ve Mezopotamya'da bulunan kayıtlarda bu teoremin kullanıldığı ve bazı özel durumlar için ispatlandığı görülmüştür. Teorem geçmişten günümüze farklı yöntemler ile sayısız kere ispat edilmiştir. Bu makalemde Pisagor teoreminin en basit iki ispat yönteminden bahsetmek istiyorum.

Şu konuya da değinmeden geçemeyeceğim; çoğu kişi bu teoremi "bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer kenarların karelerinin toplamına eşittir" olarak bilse de, teoremin bir başka tanımı da "birbirinden farklı üç kare, bir dik üçgen oluşturacak şekilde bir araya gelebiliyorsa, büyük karenin alanı, diğer karelerin alanlarının toplamına eşittir" şeklindedir. Konu sonundaki videoda bu tanımın deneyini izleyebilirsiniz.

1 - Pisagor'un İspatı

Pisagor'un ispat yöntemine "yeniden düzenleme" adı verilmiş ve farklı teorem ispatlarında kullanılmıştır. Pisagor birbirinin aynısı 4 dik üçgen oluşturmuş ve bu üçgenleri birleştirerek aşağıdaki resimde görülen şekli elde etmiştir. Resimdeki a + b kenarlı büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı ve c kenarlı küçük karenin alanlarının toplamına eşittir. Yani büyük karenin alanı, 4 üçgen alanı + c² 'dir.

Üçgenleri aşağıdaki resimdeki gibi ok yönlerinde hareket ettirdiğimizde aynı alana sahip, farklı bir şekil elde ederiz. Oluşan yeni şekil, 2 küçük kare ve 4 üçgenden oluşmaktadır.

Yeni düzenleme ile a + b kenarlı karenin alanı, 4 üçgen alanı ile 2 küçük karenin alanlarının toplamına eşittir.

Böylece büyük karenin alanını iki farklı formül ile ifade edebildik. Bu formüller birbirine eşit olduğundan

Aşağıdaki Pisagor'un yeniden düzenleme yönteminin anlatıldığı videoyu izleyebilirsiniz.

2 - Üçgen Benzerliği İspatı

Bir dik üçgende, dik kenardan hipotenüse bir dikme indirildiğinde birbirine benzer üç üçgen elde edilir. Üçgenler arasındaki benzerlik oranları yazılırsa,

bağıntıları oluşturulur. Bağıntılar matematiksel olarak içler dışlar çarpımı yapılıp toplanırsa,

eşitliği bulunur. Böylece pisagor bağıntısını iki basit yöntem ile ispatlamış oluyoruz. Aşağıdaki videoda Pisagor teoreminin ispatı için yapılmış su deneyini görebilirsiniz.