John Napier (1550 - 1617) İskoç bilim adamı ve matematikçidir. Napier matematik işlemlerini basitleştirmeye çalışmış ve bu amaçla logaritmayı ve Napier Kemikleri adı verilen bir hesaplama sistemini geliştirmiştir. "Napier Çubukları" da denilen bu sistem sayesinde insanların zorlandığı çarpma, bölme ve karekök alma gibi işlemler oldukça kolay hale gelmiş ve o yıllardaki ticarette sıklıkla kullanılmıştır.

Konu ile ilgili Napier'in logaritma hakkındaki çalışmalarına buradan ulaşabilirsiniz.

Napier'in kemikleri, üzerlerine rakamlar kazınmış tahta çubuklardan oluşur. Bu çubuklar ile sayılar oluşturulur ve basit yöntemler ile hesaplamalar yapılır. Aşağıdaki resimde bu sistemi görebilirsiniz. Bu makalemizde çarpma ve bölme işlemleri üzerinde duracağız.

Basit bir örnek ile çarpma işleminin nasıl yapıldığını görelim. Örneğin 243 ile 6'yı çarpalım. İlk olarak sayı çubuklarından 2, 4 ve 3 numaralı çubukları alarak yanyana koyalım ve 243 sayısını oluşturalım. Oluşturduğumuz sayının soluna da indeks çubuğu adı verilen ve 1'den 9'a kadar olan sayılardan oluşan çubuğu koyarsak hesaplama için herşey hazır hale gelmektedir. İndeks çubuğundaki 6 sayısının ve 243 sayısının kesişimleri hesaplamada kullanılacak kısımdır. 243 x 6 işlemi için :

Kesişim kısmında çizgilerle ayrılmış kutulardaki sayıları yukarıdan aşağıya doğru topladığımızda sonucumuz ortaya çıkacaktır. Toplama işlemlerinde toplam eğer 10'dan büyükse normal toplamı işleminde olduğu gibi sonucu toplamın birler basamağı olarak yazar ve soldaki kutuya 1 ekleriz.

Gördüğünüz gibi bu sistem çarpma işlemini daha kolay yapabildiğimiz toplama işlemine dönüştürmektedir. İşleri biraz daha zorlaştırıp 5 ve 2 basamaklı iki sayıyı çarpalım. Örneğin sayılarımız 71859 ve 49 olsun. İlk olarak çubuklarımız ile 71859 sayısını oluşturalım ve indeks çubuğunu sol kısma yerleştirelim.

Bir önceki işlemimizde olduğu gibi kesişim kısımlarındaki kutucukları aşama aşama yukarıdan aşağıya doğru toplarsak sonuca ulaşırız. Kesişim yerlerindeki kısımları alt alta koyarak toplama işlemini daha kolay ve hatasız hale getirelim. Bu aşamada karışıklığı önlemek için kesişim kısımlarını bir kağıda aktarırsanız hata yapmadan işlemi yapabilirsiniz.

Bölmedeki işlemler çarpmadan oldukça farklıdır. Basit bir örnek ile başyalım. 972 sayısını 27'ye bölelim. Bölme işleminde çubuklar ile sadece bölen sayıyı oluşturmamız gerekmektedir. Örneğimizde bölen sayı 27 olduğu için 2 ve 7 çubuklarını yanyana koyarak 27 sayısını oluştururuz. İndeks çubuğunu da çubukların en soluna koyarsak işlemlerimize başlayabiliriz.

Bölme işleminde kağıt ve kalem kullanımı gereklidir. Her satırda yeralan kutulardaki sayıları soldan sağa ve yukarıdan aşağıya doğru toplayıp yan tarafa yazıyoruz.

İlk satır için bölünen sayıyı aynen yazıyoruz. Örneğimiz için ilk satırdaki toplam 27'dir. ikinci satıra baktığımızda en sağda 4 rakamı, solunda 1 ve 4 rakamları ve solunda 0 rakamı bulunmaktadır. Bu kısımları soldan sağa ve yukarıdan aşağıya toplayıp çıkan sonuçları yanyana yazarsak, 4 yazdık soluna, 1+4 = 5 yazdık soluna, 0 yazdık yani elde ettiğimiz sayı 054 oldu. İlk sıfırın bir işlevi olmadığı için sayıyı 54 olarak yazabiliriz. Bu sayıyı 2. satırın yanına yazıyoruz. Bu işlemi her satır için ayrı ayrı yapıp sonuçları yan tarafa yazıyoruz.

Sıra geldi şablonumuzu oluşturmaya. Bir kağıda resimdeki gibi bir şablon çiziyoruz.

Daha sonra bölünen sayıyı (972'i) uygun parçalara ayırıp toplayarak elde ettiğimiz sonuçlara (27, 54, 81...) bakıyoruz. Parçalayarak elde ettiğimiz sayı en az ilk satırdaki toplama eşit veya büyük (27'den) olmalıdır. Örneğimiz için ilk olarak 972 sayısının 97 olan kısmını almamız gerekir. 972 sayısının sadece 9 olan kısmını alayamayız, çünkü 9 sayısı ilk toplam olan 27'den küçüktür. İkinci olarak 97 sayısına eşit veya en yakın küçük toplamı bulmamız gerekir. Toplamlara baktığımız zaman (27, 54, 81...) bu şartlara uyan tek sayı 81'dir (97'e en yakın ve küçük sayı). Şablonumuza 81 sayısını 97'nin altına gelecek şekilde yazıyor ve şablondaki çizginin sağ tarafına da 81 sayısının indeks numarasını yazıyoruz (81 sayısı 3. sırada).

81 sayısının sağına sıfır yazarak 972 sayının basamak sayısına eşitliyoruz. Artık iki sayıda 3 basamaklı hale geldi. 81 sayısına 1 tane sıfır eklediğimiz için indeksine de (3'ün sağına) 1 tane sıfır yazıyoruz.

Artık 972 sayısından elde ettiğimiz 810 sayısını çıkarabiliriz. Sonuç 162 olacaktır. Toplamlara baktığımızda indeks numarası 6 olan toplamın 162 olduğunu görürüz. Bu toplamı da şablona ekler ve çıkarma işlemi yaparsak sonuç sıfır olur. Elbetteki şablonumuzun sağ kısmına indeks numarasını yazmayı unutmuyoruz. 162'nin indeks numarası 6'dır.

Geriye sadece indeks numaralarını toplamak kalıyor. Bulduğumz indeks numaraları 30 ve 6'ydı. 30 + 6 = 36 sonucuna ulaşırız. Yani 972'yi 27'ye bölersek sonuç 36 olacaktır.

Elbetteki bu tür az haneli bölmeler kolay olduğu için sadece kağıt kalem kullanarak standart bölme işlemi yapmak daha mantıklı olcaktır. Fakat uzun basamaklı bölme işlemlerinde Napier'in Kemikleri'ni kullanmak işleri kolaylaştırmaktadır. Uzun bir örnek vererek konumuzu tamamlayalım. Örneğin 15.575.502 sayısını 5287 sayısına bölelim ve aşamaları görelim.

Bölen sayı olan 5287'yi çubuklar ile oluşturalım. İndeks çubuğunu da sol kısma ekleyelim.

Her satır için toplamları bulalım.

Şablonumuz oluşturalım.

Sayımızı toplamlarımıza bakarak ilk olarak 15575 şeklinde ayırıyoruz. Bu sayıya eşit veya en yakın küçük sayının 2. sıradaki 10574 sayısı olduğunu görebilirsiniz. 10574 sayısını ve indeks numarasını şablona yazıyor, bölünen sayı ile basamak sayısını eşitlemek için sıfırlar ekliyor, eklediğimiz sıfır kadar indeks numarasına da sıfırlar ekliyoruz. Artık basamaklar eşitlendiğine göre çıkarma işlemini yapabiliriz.

Elde ettiğimiz sayıyı da (5001502) toplamları göz önünde tutarak parçalıyoruz (50015 oldu) ve yine bu sayıya eşit veya en yakın küçük toplamı belirleyip (47583, 9.sayı) aynı işlemleri yapıyoruz. Bu şekilde işlemlere sıfır sonucuna ulaşana kadar (tam bölünüyorsa) devam ediyoruz.

Sonuç 2946 olarak bulunur (15.575.502 / 5.287 = 2.946). Gördüğünüz gibi özellikle uzun basamaklı bölme işlemlerinde Napier'in yöntemi işlemleri daha kolay hale getirmektedir.

1600'lü yıllarda Napier'in Kemikleri ticarette sıklıkla kullanılmış ve hesaplamaların daha kolay ve hızlı olmasını sağlamıştır. Napier'in bu sistemi Osmanlı'da bir bilim adamı olan Matrakçı Nasuh ve İtalyan matematikçi Fibonacci'nin çalışmalarından esinlenerek geliştirdiği düşünülmektedir. Napier bu sistemini Rabdoloji adlı eserinde yayınlamış ve sistem rabdoloji olarak da anılmaktadır.

Napier'in Kemikleri sisteminde kullanılan farklı tür çubuklar bulunmaktadır. Fakat bu makalede anlatılan çubuklar ile hem çarpma hem bölme hem de karekök alma işlemleri yapılabilmektedir. Diğer çubuk sistemleri ile sadece çarpma veya sadece bölme yapılabilir.