John Napier insanlar için matematiği kolaylaştırmaya çalışan bir bilim insanıydı. Bunun için hayatı boyunca çarpma ve bölme işlemlerini toplama ve çıkarma işlemlerine dönüştürmeye çalışmıştır. Çünkü bizler toplama ve çıkarma işlemlerini çarpma ve bölme işlemlerine göre daha kolay yapabilmekteyiz. Örneğin 23 ile 14'i toplamak, 23 ile 14'ü çarpmaktan çok daha kolaydır. Napier bu dönüşümler için 1614'de logaritmayı, 1617'de daha önce ayrı bir makalede bahsettiğim Napier'in Kemikleri yöntemlerini geliştirmiştir. Bu yöntemler o yıllardaki ticarette sıklıkla kullanılmıştır.

Napier'in Kemikleri konusu için ayrıntılı bilgiye buradan ulaşabilirsiniz.

Napier'in Logaritmik Dönüşümleri : Çarpmadan Toplamaya

Napier pek çok sayının logaritmasını hesaplayarak bir liste oluşturmuştur. Napier'in ölümünden sonra diğer bilim insanları bu listeye devam etmişlerdir. 1624 yılında listede 1'den 100.000'e kadar olan bütün sayıların logaritması yer almaktaydı. Bu liste ile insanlar bir sayının logaritmasını kolaylıkla bulabilmiş ve çarpma işlemlerini toplama işlemlerine dönüştürebilmişlerdir.

Bir örnek verelim : 1600'lü yıllarda bir pazara gittik ve 17 sepet yumurta aldık. Pazarcı her yumurtanın 125.5 para olduğunu ve her sepette 32 yumurta olduğunu söyledi. Ödememiz gereken miktar 17x125.5x32 (Sonuç=68272) olacaktır. Bizleri zorlayan çarpma işlemleri yerine logaritma listesini kullanarak toplama işlemleri ile sonucu bulabiliriz. Listeden 17, 125.5 ve 32 sayılarının logaritmalarını bulup bu değerleri toplarsak ve elde ettiğimiz toplamın hangi sayının logaritması olduğunu yine listeden bulursak sonuca ulaşarız.

17'nin logaritması = 1.230449
125.5'in logaritması = 2.098644
32'nin logaritması = 1.505150
Logaritmaların Toplamı = 4.834243
Listede logaritması 4.834243 olan sayı = 68272

Sonucun hatasız olması için logaritmalar noktadan sonra 6 hane olarak yazıldı. Elbetteki bu kadar küsüratla uğraşacağıma oturur sayıları çarparım diyebilirsiniz. Fakat çarpma sayısı arttıkça işlemler daha da zorlaşacaktır. 6-7 hatta 10-15 tane sayıyı çarpmak yerine logaritma yöntemini kullanmak çok daha kolay olacaktır.

Logaritma Ne Demektir?

Napier bu sistemi bulduğunda, sisteme "Logos" (Latince oran) ve "Arithmos" (Latince sayı) kelimelerinin birleşimi olan Logorithmus ismini vermiştir. Bu sözcük nihayetinde Türkçemize logaritma olarak geçmiştir.

Matematikte logaritma üs bulmada kullanılan işlemdir. Örneğin 8'i elde etmek için 2'nin üssü kaç olmalıdır? Elbetteki cevap 3'tür (2³=8). Yani 8'in 2 tabanındaki logaritması 3'tür (log₂8=3). Aşağıdaki animasyonda 8 için üstel yazımdan logaritmik yazıma geçişi görebilirsiniz.

Logaritmanın günlük hayatta kullanıldığı alanlara geçmeden şu listeye göz atmamız gerekir. (Logaritmalar 10'luk tabandadır.)

log1=0
log10=1
log100=2
log1000=3
log10000=4
log100000=5
.
.
.

Listedeki logaritmik sonuçları karşılaştırdığımızda aslında sonuçların ifade ettiği sayıların birbirlerinden kat kat fazla olduğunu görmemiz gerekir. Örneğin logaritmik sonuçlardan 1 ile 3 'ü karşılaştırırsak, 1 aslında 10'u (10 = 10¹) ve 3 de 1000 sayısını (1000 = 10³) ifade eder. Yani logaritmik sonuçlardan 3, 1'ün 100 katıdır.

Günlük Hayatta Logaritma

Öncelikle beynimiz çevremizdeki değişimleri doğrusal değil, logaritmik olarak algılar. Örneğin 25 ve 50 lümenlik iki ampülün ışık şiddetlerini karşılaştırdığımızda, 50 lümenlik ampülün ışık şiddetini, 25 lümenlik ampülün ışık şiddetinin 2 katı olarak değerlendirmeyiz, 2 kattan fazla olarak değerlendiririz. Bu durum logaritmik bir artıştır (Yukarıdaki liste için belirttiğim gibi 2 logaritmik sonucu 1 logaritmik sonucunun 2 katı değil, 2 katından çok daha fazladır). Tat alma duyusu için de aynı durum söz konusudur. 50 ve 100 gram tuz içeren aynı miktardaki suları karşılaştırdığımızda, sulardan bir yudum aldığımızda 100 gram tuz içeren su, 50 gram tuz içeren suyun 2 katından çok daha fazla tuzlu olarak algılanır. Araştırmalara göre zamanı da bu şekilde algılarız. Yaşımız ilerledikçe zamanın çok daha hızlı geçtiğini düşünürüz. 1 yıllık süreyi 10 yaşındaki bir çocuk ile 70 yaşındaki bir kişi farklı şekilde algılar.

Gerçek hayatta logaritma çoğunlukla çok büyük veya çok küçük sayıların anlaşılabilmesi için kullanılmaktadır. Örneğin güneşin parlaklığı metrekareye 100.000 lümendir. Gece görünen en parlak yıldız ise metrekareye 0.00005 lümenlik parlaklığa sahiptir. Sayıların çok büyük veya çok küçük olması karşılaştırmaları kavrayamamıza neden olmaktadır. Bu örnek için sayıların logaritma sonuçlarını içeren bir ölçek geliştirirsek güneşin parlaklığı 5 (log₁₀100.000), gece en parlak görülen Sirius yıldızının parlaklığı da -4.3 (log₁₀0.00005) olmaktadır. Bu sayede sayılar daha anlaşılabilir duruma getirilir. Şimdi örneklerimize geçelim.

Richter Ölçeği

Bildiğiniz gibi Richter Ölçeği depremin şiddetini ölçmede kullanılan bir ölçektir. Bu ölçek logaritmiktir. Yani richter ölçeğine göre 6 olan deprem, richter ölçeğine göre 3 olan depremden 2 kat değil tam tamına 1000 kat daha şiddetlidir. Daha önce de belirttiğim gibi 6, 10⁶'nın logaritmik sonucu, 3 ise 10³'ün logaritmik sonucudur. 10⁶ 10³'ün 1000 katıdır.

Asitlik ve Bazlık Ölçümü (pH)

Bir maddenin asit olabilmesi için bulunduğu ortama artı yüklü Hidrojen iyonları vermesi gerekir. pH kelimesindeki H bu iyonları temsil ederken p harfi ise matematiksel bir fonksiyondur ve -logaritmayı ifade eder. Yani pH Hidrojen iyon konsantrasyonunun -logaritmasıdır. Örneğin suyun pH değeri 7'dir ve bu değer nötür olarak kabul edilir. Biraz önce bahsettiğim gibi pH7, log(-7) anlamına gelir. Bu da sudaki hidrojen iyonlarının 10^-7 olduğunu gösterir (0.0000007). Gördüğünüz gibi logaritma sayesinde çok küçük sayılar daha anlamlı hale getirilmiştir.

Ses Yoğunluk Ölçümü (Desibel - dB)

Sesin yoğunluk birimi desibeldir. Bir ses ne kadar gürültülü ise desibel değeri o kadar yüksektir. Desibel ölçeği de logaritmiktir. Örneğin arkadaşlar arasında yapılan bir sohbet 60 desibellik ses yoğunluğuna sahipken, yoğun trafik ortalama 70 desibel, gürültülü bir restorant 80 desibellik ses yoğunluğa sahiptir. 70 desibel 60 desibelden 10 kat gürültülü iken, 80 desibel 60 desibelden 100 kat daha gürültülüdür.