Bu makalemde farklı ve şaşırtıcı sonuçlara sahip üç olasılık sorusundan bahsetmek istiyorum. İlk soru : Bir çiftin iki çoçuğu var. Çocuklardan büyüğü erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir? İkinci soru : Aynı çiftin çocuklarından en az biri erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir? Üçüncü ve son soru : Aynı çiftin çocuklarından biri Salı günü doğan bir erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir?

İlk bakışta bütün soruların cevabı yüzde 50 gibi gözükebilir. Hatta "çocuğun salı günü doğması sonucu neden etkilesin ki" diye düşünmüş olabilirsiniz. Matematikte "koşullu olasılık" olarak isimlendirilen bu gibi durumlarda, verilen her bilgi mümkün olabilen toplam durumların sayısını değiştirir. Bu yüzden cevaplar da değişir.

Bir çiftin iki çoçuğu var. Çocuklardan büyüğü erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir?

İki çocuk için bütün olası durumları yazıp hangileri şartlarımızı sağlıyor görelim.

Erkek Kız
Erkek Erkek
Kız Erkek
Kız Kız

Soruda ilk çocuğun erkek olduğu söyleniyor. O halde {Kız, Erkek} ve {Kız, Kız} durumları şartımıza uymadığından, olası değildir. Geriye {Erkek, Kız} ve {Erkek, Erkek} durumları kalır. Diğer çocuğun kız olma olasılığı sorulduğu için, 2 olası durumdan sadece 1'i bu şartı sağlamaktadır. Yani cevap yüzde 50 olmalıdır. Şimdi işleri biraz değiştirelim,

Bir çiftin iki çoçuğu var. Çocuklardan en az biri erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir?

Bu soruda çocukların en az birinin erkek olduğunu biliyoruz. Fakat birinci, yani yaşça büyük olan çocuğun cinsiyetini bilmiyoruz. Bu yüzden ilk çocuk erkek de olabilir kız da olabilir. Yine iki çocuk durumu için bütün olasılıkları yazarak, şartlarımıza uyanları inceleyelim.

Erkek Kız
Erkek Erkek
Kız Erkek
Kız Kız

Soruda en az bir çocuğun erkek olduğunu biliyoruz. O halde {Kız, Kız} durumu bu şartlara göre olası değildir. Geriye {Erkek, Kız}, {Erkek, Erkek} ve {Kız, Erkek} olasılıkları kalır. Diğer çocuğun kız olma olasılığı sorulduğu için, cevabımız 3 olası durumdan 2'si, yani yüzde 67 olmalıdır. Daha da karıştıralım,

Bir çiftin iki çocuğu var. Çocuklardan biri Salı günü doğan bir erkek ise diğer çocuğun kız olma olasılığı nedir?

Bu soruda verilen bilgi değiştiği için toplam durum sayısı da değişecektir. Öncelikle çocuklardan birinin erkek olduğunu bildiğimiz için Erkek ve Kız olasılıkları {Erkek, Kız}, {Erkek, Erkek} ve {Kız, Erkek} şeklinde olur. Bu durumlar için bir erkek çocuğun salı günü doğduğu bütün olasılıkları yazalım. Yazmada kolaylık olması açısından haftanın günlerine sayı değerleri verelim, P.tesi=1, Salı=2, Çrş=3, Prş=4, Cuma=5, C.tesi=6, Pazar=7

{Erkek, Kız} durumunda Erkek çocuk için doğum günü salıyken, Kız çocuğun doğum günü haftanın herhangi bir günü olabilir. (Salı=2)

Erkek2 Kız1
Erkek2 Kız2
Erkek2 Kız3
Erkek2 Kız4
Erkek2 Kız5
Erkek2 Kız6
Erkek2 Kız7

{Erkek, Erkek} için iki farklı durumumuz olacak. Çünkü eğer iki erkek çocuk varsa büyüğün mü yoksa küçük çocuğun mu Salı günü doğduğunu bilmiyoruz. Her durum için bütün olasılıkları yazmamız gerekiyor. Eğer birinci erkek çocuk Salı günü doğduysa, diğer erkek çocuğun doğum günü haftanın herhangi bir günü olabilir.

Erkek2 Erkek1
Erkek2 Erkek2
Erkek2 Erkek3
Erkek2 Erkek4
Erkek2 Erkek5
Erkek2 Erkek6
Erkek2 Erkek7

İkinci erkek çocuk Salı günü doğduysa, ilk çocuk haftanın herhangi bir günü doğabilir.

Erkek1 Erkek2
Erkek2 Erkek2
Erkek3 Erkek2
Erkek4 Erkek2
Erkek5 Erkek2
Erkek6 Erkek2
Erkek7 Erkek2

Son olarak ilk çocuğun kız olduğu {Kız, Erkek} durumu için,

Kız1 Erkek2
Kız2 Erkek2
Kız3 Erkek2
Kız4 Erkek2
Kız5 Erkek2
Kız6 Erkek2
Kız7 Erkek2

durumlarını elde ederiz. Son olarak {Erkek, Erkek} durumları için yazılan olasılıklara bakarsak, {Erkek2 Erkek2} olasılığı tekrar edilmiş, aynı olasılıktır. O yüzden tüm durum sayısı 28 değil, 27'dir. Şimdi soruda bizden istenen yani Kız çocuğu içeren olasılıkları sayarsak, 14 olarak buluruz. Yani 27 olasılıktan 14'ü şartımızı sağlamakadır. Bu yüzden cevap 14/27 yani yüzde 52 olacaktır.

Gördüğünüz gibi eklenen küçük bilgiler cevabın değişmesine neden olmaktadır. Yine sonucu şaşırtan bir olasılık bilmecesine buradan ulaşabilirsiniz.